Question

16．已知函數(shù)f（x）=-x³+3x²+a．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）在區(qū)間[1，3]上的最大值為10，求它在該區(qū)間上的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知得f′（x）=-3x²+6x，由此利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）由（1）知函數(shù)f（x）在（0，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間[1，3]上f（x）的最大值是f（2），求出a，即可求它在該區(qū)間上的最小值．

解答 解：（1）由已知，f'（x）=-3x²+6x，…（2分）
解f'（x）=-3x²+6x＞0，得0＜x＜2，
解f'（x）=-3x²+6x＜0，得x＞2或x＜0，…（5分）
所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，2），
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0）和（2，+∞）．…（7分）
（2）由（1）知函數(shù)f（x）在（0，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）上單調(diào)遞減，
所以在區(qū)間[1，3]上f（x）的最大值是f（2），…（9分）
所以f（2）=10，解得a=6．…（11分）
故f（x）=-x³+3x²+6，
計(jì)算f（1）=8，f（3）=6，
所以f（x）在區(qū)間[1，3]上的最小值為6．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．以及在閉區(qū)間上的最值問題等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查了分析與解決問題的綜合能力．