Question

1．已知圓x²+y²+2x-3=0和直線y=2x+b．
（1）討論b怎么決定直線和圓的位置關(guān)系的；
（2）若b=-2，則直線與圓是否相交？若相交，請(qǐng)計(jì)算出弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）將圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式求出圓心坐標(biāo)、半徑，由截距式求出直線AB方程，利用切線的條件和點(diǎn)到直線的距離公式建立方程，化簡(jiǎn)可得結(jié)論；
（2）由（1）和條件判斷出直線與圓是否相交，由b=-2求出圓心到直線的距離，利用弦長(zhǎng)公式求出答案．

解答 解：（1）圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式：（x+1）²+y²=4，
則圓心為（-1，0），半徑為2，
∴圓心到直線y=2x+b的距離d=$\frac{|-2+b|}{\sqrt{{2}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{|-2+b|}{\sqrt{5}}$
當(dāng)$\frac{|-2+b|}{\sqrt{5}}$=2，即b=$2-2\sqrt{5}$或$2+2\sqrt{5}$時(shí)，直線y=2x+b與圓相切，
當(dāng)$\frac{|-2+b|}{\sqrt{5}}$＞2，即b＜$2-2\sqrt{5}$或b＞$2+2\sqrt{5}$時(shí)，直線y=2x+b與圓相離，
當(dāng)$\frac{|-2+b|}{\sqrt{5}}$＜2，即$2-2\sqrt{5}$＜b＜$2+2\sqrt{5}$時(shí)，直線y=2x+b與圓相交；
（2）由（1）知，b=-2直線與圓相交，
此時(shí)d=$\frac{|-2+b|}{\sqrt{5}}$=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，
∴所截得的弦長(zhǎng)是2$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{4}{\sqrt{5}}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，以及分類討論思想的應(yīng)用，考查化簡(jiǎn)、計(jì)算能力．