Question

14．設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，點（n，$\frac{S_n}{n}$）（n∈N^*）均在函數(shù)y=3x-2的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，求T_n
（3）求使得T_n＜$\frac{m}{20}$對所有n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m．

Answer 1

分析 （1）求出S_n，再根據(jù)a_n與S_n的關系求出a_n；
（2）使用裂項法求和；
（3）分離參數(shù)得m＞20T_n，求出20T_n的最大值或極限即可得出m的值．

解答 解：（1）∵點（n，$\frac{S_n}{n}$）（n∈N^*）均在函數(shù)y=3x-2的圖象上，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=3n-2，即S_n=3n²-2n，
當n=1時，a₁=S₁=1，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3n²-2n-[3（n-1）²-2（n-1）]=6n-5，
當n=1時，上式仍成立，
∴a_n=6n-5．
（2）b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（6n-5）（6n+1）}$=$\frac{1}{6}$（$\frac{1}{6n-5}-\frac{1}{6n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{6}$（1-$\frac{1}{7}$）+$\frac{1}{6}$（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{13}$）+…+$\frac{1}{6}$（$\frac{1}{6n-5}-\frac{1}{6n+1}$）
=$\frac{1}{6}$（1-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{13}$+…+$\frac{1}{6n-5}-\frac{1}{6n+1}$）
=$\frac{1}{6}$•（1-$\frac{1}{6n+1}$）
=$\frac{n}{6n+1}$．
（3）∵T_n＜$\frac{m}{20}$，∴m＞20T_n=$\frac{20n}{6n+1}$．
令f（n）=$\frac{20n}{6n+1}$，則f（n）為增函數(shù)時，且$\underset{lim}{n→+∞}$f（n）=$\frac{10}{3}$，
∵m為正整數(shù)，
∴m=4．

點評 本題考查了數(shù)列通項公式的求解，裂項法求和，函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題．