Question

5．一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分（即獲得-200分）．設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為$\frac{1}{2}$，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨(dú)立．
（1）設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．
（2）玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？

Answer 1

分析 （1）X可能的取值為10，20，100，-200，運(yùn)用幾何概率公式得出求解相應(yīng)的概率，得出分布列．
（2）利用對(duì)立事件求解得出P（A₁A₂A₃）=P（A₁）P（A₂）P（A₃）=P（X=-200）=$\frac{1}{8}$，即可求出1-P（A₁A₂A₃）．

解答 解：（1）X可能的取值為10，20，100，-200．
根據(jù)題意，有P（X=10）=$C_3^1×{（\frac{1}{2}）^1}×{（1-\frac{1}{2}）^2}=\frac{3}{8}$，
P（X=20）=$C_3^2×{（\frac{1}{2}）^2}×{（1-\frac{1}{2}）^1}=\frac{3}{8}$，
P（X=100）=$C_3^3×{（\frac{1}{2}）^3}×{（1-\frac{1}{2}）^0}=\frac{1}{8}$，
P（X=-200）=${C}_{3}^{0}×（\frac{1}{2}）^{0}×（1-\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{1}{8}$${C}_{3}^{0}×（\frac{1}{2}）^{0}×（1-\frac{1}{2}）^{3}=\frac{1}{8}$．
∴X的分布列為：

X	10	20	100	-200
P	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$

X的數(shù)學(xué)期望為EX=10×$\frac{3}{8}$+20×$\frac{3}{8}$+100×$\frac{1}{8}$-200×$\frac{1}{8}$=-$\frac{5}{4}$．
（2）設(shè)“第i盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件A_i（i=1，2，3），則
P（A₁A₂A₃）=P（A₁）P（A₂）P（A₃）=P（X=-200）=$\frac{1}{8}$．
∴“三盤游戲中至少有一盤出現(xiàn)音樂”的概率為
1-P（A₁A₂A₃）=$1-{（{\frac{1}{8}}）^3}=1-\frac{1}{512}=\frac{511}{512}$．
因此，玩三盤游戲至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是$\frac{511}{512}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查概率的計(jì)算，以及離散型分布列的計(jì)算，以及利用期望的計(jì)算，考查幾何互斥事件，對(duì)立事件概率求解，屬于中檔題．