Question

等差數(shù)列{a_m}的公差d不為0，S_n是其前n項和，給出下列命題：
①若d＞0，且S₃=S₈，則S₅和S₆都是{S_m}中的最小項；
②給定n，對于一切k∈N₊（k＜n），都有a_n-k+a_n+k=2a_m；
③若d＜0，則{S_n}中一定有最大的項；
④存在k∈N₊，使a_k-a_k+1和a_k-a_k-1同號；
⑤S₂₀₁₃＞3（S₁₃₄₂-S₆₇₁）．
其中正確命題的序號為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：①由d＞0，且S₃=S₈，利用等差數(shù)列的性質(zhì)易求a₆=0，從而可判斷①；
②利用等差數(shù)列的性質(zhì)可判斷②；
③當(dāng)d＜0時，由S_n=na₁+

n(n-1)

2

d=

d

2

n²+（a₁-

d

2

）n，可知{S_n}中一定有最大的項，由此可判斷③；
④a_k-a_k+1和a_k-a_k-1符號相反，可判斷④；
⑤利用S₆₇₁，S₁₃₄₂-S₆₇₁，S₂₀₁₃-S₁₃₄₂成等差數(shù)列，整理后可判斷⑤．

解答： 解：對于①：∵d＞0，且S₃=S₈，∴a₁＜0，a₄+a₅+a₆+a₇+a₈=0，∴5a₆=0，即a₆=0，
∴S₅和S₆都是{S_m}中的最小項，故①正確；
對于②：由等差中項的性質(zhì)可知正確；
對于③：當(dāng)d＜0時，S_n=na₁+

n(n-1)

2

d=

d

2

n²+（a₁-

d

2

）n，可知{S_n}中一定有最大的項，故③正確；
對于④：a_k-a_k+1和a_k-a_k-1符號相反，故④不正確；
對于⑤：∵S₆₇₁，S₁₃₄₂-S₆₇₁，S₂₀₁₃-S₁₃₄₂成等差數(shù)列，
∴2（S₁₃₄₂-S₆₇₁）=S₆₇₁+（S₂₀₁₃-S₁₃₄₂），
∴S₂₀₁₃=3（S₁₃₄₂-S₆₇₁），故⑤不正確．
綜上所述，正確命題的序號為①②③．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，著重考查等差中項的性質(zhì)、等差數(shù)列前n項和的函數(shù)性質(zhì)及依次n項的和成等差數(shù)列等性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．