Question

2．已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處，極軸與x軸非負(fù)半軸重合，直線l的極坐標(biāo)方程為3ρcosθ+ρsinθ-6=0，圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{5}cosα\\ y=1+\sqrt{5}sinα\end{array}\right.$，
（1）求直線l和圓C的直角坐標(biāo)系方程；
（2）若相交，求出直線被圓所截得的弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）消去參數(shù)，求出直線和圓的普通方程即可；
（2）求出圓心和半徑，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求出d，從而求出弦長(zhǎng)即可．

解答 解：（1）將圓C的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)系方程：x²+y²-2y-4=0，
化為標(biāo)準(zhǔn)方程是x²+（y-1）²=5，…（3分）
直線l：3x+y-6=0…（5分）
（2）由x²+（y-1）²=5，所以圓心C（0，1），半徑$r=\sqrt{5}$；
所以圓心C到直線l：3x+y-6=0的距離是$d=\frac{{|{3×0+1×1-6}|}}{{\sqrt{{3^2}+{1^2}}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$；
直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)為$|{AB}|=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=2\sqrt{{{（{\sqrt{5}}）}^2}-{{（{\frac{{\sqrt{10}}}{2}}）}^2}}=\sqrt{10}$．（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程和普通方程的轉(zhuǎn)化，考查直線和圓的位置關(guān)系以及點(diǎn)到的直線的距離，是一道中檔題．