Question

在數(shù)列{a_n}中，已知奇數(shù)項(xiàng)依次排列構(gòu)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)依次排列構(gòu)成等比數(shù)列，a₁=1，a₂=2，a₈=16，且a₈是a₁₅和a₁₇的等差中相項(xiàng)，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：分類討論,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：①根據(jù)題意，求出n為奇數(shù)與n為偶數(shù)時，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式即可；
②根據(jù)n為奇數(shù)與n為偶數(shù)時，a_n的通項(xiàng)公式，求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n即可．

解答： 解：①數(shù)列{a_n}中，奇數(shù)項(xiàng)依次排列構(gòu)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)依次排列構(gòu)成等比數(shù)列，
a₁=1，a₂=2，a₈=16，且a₈是a₁₅和a₁₇的等差中相項(xiàng)，
∴a₁₅+a₁₇=2a₈=32；
又∵a₁₅+a₁₇=（a₁+7d）+（a₁+8d）=2×1+15d=32，
∴d=2，
∴當(dāng)n=2k-1時，a_n=1+2（k-1）=2k-1=n；
又a₂•q³=a₈，
∴q³=

16

2

=8，
∴q=2，
∴當(dāng)n=2k時，a_n=a₂q^k-1=2•2^k-1=2^k=2

n

2

=(

2

)n；
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=

n，n為奇數(shù) ( 2 )n，n為偶數(shù)

；
②n為奇數(shù)時，a_n=n，n為偶數(shù)時，a_n=(

2

)n；
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，
S_n=1+2+3+4+5+8+…+a_n；
n=2k-1時，S_n=（1+3+5+…+2k-1）+（2+4+8+…+(

2

)2k-2）
=k²+（2^k-2）
=(

n+1

2

)2+2

n+1

2

-2
=

1

4

n²+

1

2

n+(

2

)n+1-

7

4

；
n=2k時，S_n=（1+3+5+…+2k-1）+（2+4+8+…+(

2

)2k）
=k²+（2^k+1-2）
=(

n+1

2

)2+2

n

2

+1-2
=

1

4

n²+

1

2

n+2•(

2

)n-

7

4

；
綜上，S_n=

1 4 n2+ 1 2 n+( 2 )n+1- 7 4 ，n為奇數(shù) 1 4 n2+ 1 2 n+2•( 2 )n- 7 4 ，n為偶數(shù)

．

點(diǎn)評：本題考查了等差與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用問題，也考查了分類討論思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目．