Question

1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，$θ∈[{\frac{π}{2}，π}]$
（1）求半圓C₁的參數(shù)方程；
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)A在半圓C₁上，動(dòng)線段OA的中點(diǎn)M的軌跡為C₂，點(diǎn)D在C₂上，C₂在點(diǎn)D處的切線與直線$y=\sqrt{3}x+2$平行，求點(diǎn)D的直角坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）首先把圓的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成參數(shù)方程，注意參數(shù)的取值范圍．
（2）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，易得曲線C₂的參數(shù)方程，結(jié)合切線與平行線的性質(zhì)來(lái)求得點(diǎn)D的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）半圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，$θ∈[{\frac{π}{2}，π}]$，
轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為：x²+y²-4y=0（0≤x≤2）
再把半圓C₁化為參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2+2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)，-$\frac{π}{2}$≤α≤$\frac{π}{2}$）；
（2）設(shè)M（x，y），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得：
x=$\frac{2cosα+0}{2}$=cosα，y=$\frac{2+2sinα+0}{2}$=1+sinα．
所以曲線C₂的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=1+sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)，$\frac{π}{2}$≤α≤$\frac{3π}{2}$），
因?yàn)镃₂在點(diǎn)D處的切線與直線$y=\sqrt{3}x+2$平行，則點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的參數(shù)α=$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{6}$．
由曲線C₂的參數(shù)方程得，x_D=cos$\frac{5π}{6}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，y_D=1+sin$\frac{5π}{6}$=$\frac{3}{2}$．
故點(diǎn)D的直角坐標(biāo)為（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、普通方程與參數(shù)方程的互化，考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸能力．