Question

12．已知點(diǎn)P為拋物線y²=2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙A：（x-3）²+y²=1的兩條切線PM、PN，切點(diǎn)為M、N
（I）當(dāng)|PA|最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）或（2，-2）；
（II）四邊形PMAN的面積的最小值為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 （I）設(shè)P（x，y），則|PA|²=（x-3）²+y²=（x-3）²+2x=（x-2）²+5，即可求出當(dāng)|PA|最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（II）由圓的方程為求得圓心C（3，0）、半徑r為：1，若四邊形面積最小，則圓心與點(diǎn)P的距離最小，利用距離公式，結(jié)合配方法，即可得出結(jié)論．．

解答 解：（I）設(shè)P（x，y），則|PA|²=（x-3）²+y²=（x-3）²+2x=（x-2）²+5，
∴x=2時(shí)，|PA|最小，此時(shí)y=±2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，±2）；
（II）圓C：（x-3）²+y²=1圓心C（3，0）、半徑r為：1
根據(jù)題意，若四邊形面積最小，則圓心與點(diǎn)P的距離最�。�
由（I），|PA|最小為$\sqrt{5}$，∴四邊形PMAN的面積的最小值為2×$\frac{1}{2}×1×\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$
故答案為：（2，2）或（2，-2）；$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，主要涉及了構(gòu)造四邊形及其面積的求法，同時(shí)還考查了轉(zhuǎn)化思想．此題屬中檔題．