Question

8．?dāng)?shù)列{a_n}滿足：a₁=1，${a_n}_{+1}=\frac{{3{a_n}}}{{{a_n}+3}}$，n∈N^*．    
（1）令${b_n}=\frac{1}{a_n}$，求證：數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）證法一：取倒數(shù)法即可得出．
證法二：作差方法：只要證明b_n+1-b_n為常數(shù)即可．
（2）由（1）可得b_n，即可得出．

解答 （1）證法一：由已知可得$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{{{a_n}+3}}{{3{a_n}}}=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{3}$，即$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}=\frac{1}{3}$，
∴$\{\frac{1}{a_n}\}$是以$\frac{1}{a_1}=1$為首項(xiàng)，$\frac{1}{3}$為公差的等差數(shù)列．
證法二：∵${b_{n+1}}-{b_n}=\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}=\frac{{{a_n}-{a_{n+1}}}}{{{a_{n+1}}{a_n}}}=\frac{{{a_n}-{a_{n+1}}}}{{3（{a_n}-{a_{n+1}}）}}=\frac{1}{3}$，
∴$\{\frac{1}{a_n}\}$是以$\frac{1}{a_1}=1$為首項(xiàng)，$\frac{1}{3}$為公差的等差數(shù)列．
（2）解：由（1）知${b_n}={b_1}+（n-1）×\frac{1}{3}=\frac{n+2}{3}$．
∴${a_n}=\frac{1}{b_n}=\frac{3}{n+2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．