Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c，x∈[-1，1]．求證：當(dāng)b＜-2時(shí)，在閉區(qū)間[-1，1]上總存在一個(gè)x，使得|f（x）|≥|b|成立．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由條件利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得f（x）的最大值為f（-1）=1-b+c，f（x）的最小值為f（1）=1+b+c，分類討論c值，可得在f（-1）和f（1）中，至少有一個(gè)滿足|f（x）|≥|b|成立，從而證得結(jié)論．

解答： 解：∵b＜-2，∴二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c的圖象的對(duì)稱軸x=-

b

2

＞1，故函數(shù)f（x）在[-1，1]上是減函數(shù)，
故f（x）的最大值為f（-1）=1-b+c，f（x）的最小值為f（1）=1+b+c．
①當(dāng)c=0時(shí)，|f（-1）=|1-b|=1-b＞|b|成立．
②當(dāng)-1≤c＜0時(shí)，0≤c+1＜1|f（-1）=|1-b+c|≥|-b|=|b|，即|f（-1）|≥|b|成立．
③當(dāng)c＜-1時(shí)，c+1＜0，|f（1）=|1+b+c|≥|b|成立．
綜上可得，當(dāng)b＜-2時(shí)，在f（-1）和f（1）中，至少有一個(gè)滿足|f（x）|≥|b|成立，
故當(dāng)b＜-2時(shí)，在閉區(qū)間[-1，1]上總存在一個(gè)x，使得|f（x）|≥|b|成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．