Question

14．已知數(shù)列{an}滿足：a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+2^-n（n∈N^*）．
（1）證明：數(shù)列{2ⁿ•a_n}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由題意可得2ⁿ⁺¹a_n+1=2ⁿa_n+2，再由等差數(shù)列的定義，即可得證；
（2）運用等差數(shù)列的通項公式，可得a_n=（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．再由數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結合等比數(shù)列的求和公式，化簡即可得到所求．

解答 解：（1）證明：a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+2^-n（n∈N^*），
可得2ⁿ⁺¹a_n+1=2ⁿa_n+2，
即有數(shù)列{2ⁿ•a_n}是首項為2a₁=1，公差為2的等差數(shù)列；
（2）由（1）可得2ⁿ•a_n=1+2（n-1）=2n-1，
即有a_n=（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．
前n項和S_n=1•$\frac{1}{2}$+3•（$\frac{1}{2}$）²+5•（$\frac{1}{2}$）³+…+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．
$\frac{1}{2}$S_n=1•（$\frac{1}{2}$）²+3•（$\frac{1}{2}$）³+5•（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹．
兩式相減可得，$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$+2[（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ]-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{1}{2}$+2•$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹．
化簡可得，S_n=3-（2n+3）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．

點評 本題考查等差數(shù)列的定義和通項公式的運用，考查構造數(shù)列的思想，以及數(shù)列的求和方法：錯位相減法，屬于中檔題．