Question

11．已知tanα，tanβ是方程2x²+3x-7=0的兩個(gè)實(shí)根．
（1）求tan（α+β）的值；
（2）求$\frac{cos（α-β）}{sin（α+β）}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系得到tanα+tanβ和tanαtanβ的值，利用兩角和的正切公式進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系、兩角和差的正弦余弦公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出．

解答 解：（1）∵tanα，tanβ是方程2x²+3x-7=0的兩個(gè)實(shí)根，
∴tanα+tanβ=-$\frac{3}{2}$，tanαtanβ=-$\frac{7}{2}$，
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{-\frac{3}{2}}{1+\frac{7}{2}}$=$\frac{-3}{2+7}$=-$\frac{1}{3}$；
（2）∵tanα，tanβ是方程2x²+3x-7=0的兩個(gè)實(shí)根，
∴tanα+tanβ=-$\frac{3}{2}$，tanαtanβ=-$\frac{7}{2}$，
∴$\frac{sin（α+β）}{cos（α-β）}=\frac{sinαcosβ+cosαsinβ}{cosαcosβ+sinαsinβ}$=$\frac{tanα+tanβ}{1+tanαtanβ}$=$\frac{-\frac{3}{2}}{1-\frac{7}{2}}=\frac{3}{5}$．
∴$\frac{cos（α-β）}{sin（α+β）}$=$\frac{5}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩角和的正切公式的應(yīng)用，考查了兩角和差的正弦余弦公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系求出tanα+tanβ，tanαtanβ的值是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．