Question

1．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}-1，0≤x＜1}\\{{x}^{\frac{1}{2}}-\frac{3}{2}，x≥1}\end{array}\right.$，則f（f（-1））=$\frac{\sqrt{2}}{2}$-1，若f（a）＞0，則實數(shù)a的取值范圍是（-$\frac{9}{4}$，0）∪（$\frac{9}{4}$，+∞），．

Answer 1

分析 先根據(jù)函數(shù)的解析式求出f（-1）的值，可得f（f（-1））的值；根據(jù)函數(shù)的f（x）的圖象，數(shù)形結(jié)合可得f（a）＞0時，實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：定義在R上的奇函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}-1，0≤x＜1}\\{{x}^{\frac{1}{2}}-\frac{3}{2}，x≥1}\end{array}\right.$，則 f（-1）=-f（1）=-（1-$\frac{3}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
∴f（f（-1））=f（$\frac{1}{2}$）=${2}^{-\frac{1}{2}}$-1=$\frac{1}{\sqrt{2}}$-1=$\frac{\sqrt{2}}{2}$-1．
當(dāng)0≤a＜1時，由f（a）=2^-a-1＞0，∴2^-a＞2⁰，-a＞0，∴a＜0（舍去）．
當(dāng)a≥1時，f（a）=$\sqrt{a}$-$\frac{3}{2}$＞0，可得$\sqrt{a}$＞$\frac{3}{2}$，∴a＞$\frac{9}{4}$．
再根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點對稱，如圖所示：
可得實數(shù)a的取值范圍（-$\frac{9}{4}$，0）∪（$\frac{9}{4}$，+∞），
故答案為：（-$\frac{9}{4}$，0）∪（$\frac{9}{4}$，+∞）．

點評 本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，求函數(shù)的值，解指數(shù)不等式，屬于中檔題．