Question

3．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁，∠ACB=90°，則直線A₁C與平面A₁BC₁所成的角的大小為（　�。�

• A． 30°
• B． 60°
• C． 90°
• D． 120°

Answer 1

分析 由已知證得平面A₁BC₁⊥平面BB₁C₁C，連接B₁C交BC₁于O，則CO⊥BC₁，可得CO⊥平面A₁BC₁．即∠CA₁O為直線A₁C與平面A₁BC₁所成的角．然后求解直角三角形得答案．

解答 解：如圖，

∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，∴CC₁⊥A₁C₁，又，∠ACB=90°，
∴A₁C₁⊥B₁C₁，則A₁C₁⊥平面BB₁C₁C，又A₁C₁?平面A₁BC₁，
∴平面A₁BC₁⊥平面BB₁C₁C，
連接B₁C交BC₁于O，則CO⊥BC₁，∴CO⊥平面A₁BC₁．
∴∠CA₁O為直線A₁C與平面A₁BC₁所成的角．
設(shè)AC=BC=AA₁=a，
則${A}_{1}C=\sqrt{2}a$，CO=$\frac{1}{2}{B}_{1}C=\frac{\sqrt{2}a}{2}$，
在Rt△A₁OC中，sin$∠C{A}_{1}O=\frac{CO}{{A}_{1}C}=\frac{1}{2}$，
∴直線A₁C與平面A₁BC₁所成的角的大小為30°．
故選：A．

點評 本題考查直線與平面所稱的角，關(guān)鍵是找出線面角，是中檔題．