14．用分析法證明不等式：$\sqrt{a+1}$-$\sqrt{a}$＜$\sqrt{a-1}$-$\sqrt{a-2}$（a≥2）

分析 尋找使不等式成立的充分條件，直到使不等式成立的充分條件顯然成立，要證的不等式得證．

解答 證明：要證$\sqrt{a+1}$-$\sqrt{a}$＜$\sqrt{a-1}$-$\sqrt{a-2}$（a≥2），只要證$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{a-2}$＜$\sqrt{a-1}$+$\sqrt{a}$，
即證 a+1+a-2+2$\sqrt{（a+1）（a-2）}$＜a-1+a+2$\sqrt{a（a-1）}$，
即 $\sqrt{（a+1）（a-2）}$＜$\sqrt{a（a-1）}$，即 （a+1）（a-2）＜a（a-1），即 a2-a-2＜a2-a，即-2＜0．
而-2＜0顯然成立，故$\sqrt{a+1}$-$\sqrt{a}$＜$\sqrt{a-1}$-$\sqrt{a-2}$（a≥2）成立．

點評 本題主要考查用分析法證明不等式，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
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19．已知f（x）為R上的可導(dǎo)函數(shù)，且?x∈R，均有f（x）＞f′（x），則以下判斷正確的是（　　）
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6．化簡：
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3．直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1，∠ACB=90°，則直線A1C與平面A1BC1所成的角的大小為（　�。�
A．30°B．60°C．90°D．120°

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4．在△ABC中，若b+c=2a，則3sinA=5sinB，則角C=$\frac{2π}{3}$．

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