Question

已知a∈R，條件p：函數(shù)y=x²+（4a-3）x+

1

4

的圖象與x軸有兩個不同的交點，條件q：復(fù)數(shù)

a+i

1+i

在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第一象限．如果p或q為真命題，p且q為假命題，求實數(shù)a的范圍．

Answer 1

考點：復(fù)合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：根據(jù)已知條件知p和q中一個為真命題，一個為假命題，所以分別討論p為真命題，q為假命題，和p為假命題，q為真命題的情況．p為真命題時，需滿足△=（4a-3）²-1＞0；q為假命題時，先把復(fù)數(shù)化成

a+1

2

+

1-a

2

i，則需滿足

a+1

2

≤0，或

1-a

2

≤0，這樣解不等式即可求出a的范圍．對于另一種情況同樣可求出a的范圍，這兩個a的范圍求并即可．

解答： 解：p或q為真命題，說明p和q中至少一個為真命題；p且q為假命題，說明p和q中至少一個為假命題；
∴p和q中有一個為假命題，另一個為真命題；
復(fù)數(shù)

a+i

1+i

=

a+1

2

+

1-a

2

i；
∴若p為真命題，q為假命題，則：
（1）p為真命題時：（4a-3）²-1＞0，解得a＞1，或a＜

1

2

；
（2）q為假命題時：

a+1

2

≤0，或

1-a

2

≤0，解得a≤-1，或a≥1；
∴a的范圍是：（-∞，-1]∪（1，+∞）．
若p為假命題，q為真命題，則：
（1）p為假命題時：（4a-3）²-1≤0，解得

1

2

≤a≤1；
（2）q為真命題時：

a+1 2 ＞0 1-a 2 ＞0

，解得-1＜a＜1；
∴a的范圍是：[

1

2

，1)．
綜上得a的范圍是：{a|a≤-1，或a≥

1

2

且a≠1}．

點評：考查二次函數(shù)圖象與x軸的交點和判別式的關(guān)系，復(fù)數(shù)的乘法運算，復(fù)數(shù)與平面直角坐標系中點的對應(yīng)關(guān)系．