8.已知函數(shù)f(x)=x2-ax+1,g(x)=4x-4•2x-a,其中a∈R.
(1)當(dāng)a=0時(shí),求函數(shù)g(x)的值域;
(2)若對(duì)任意x∈[0,2],均有|f(x)|≤2,求a的取值范圍;
(3)當(dāng)a<0時(shí),設(shè)h(x)=$\left\{\begin{array}{l}{f(x),x>a}\\{g(x),x≤a}\end{array}\right.$,若h(x)的最小值為-$\frac{7}{2}$,求實(shí)數(shù)a的值.

分析 (1)當(dāng)a=0時(shí),g(x)=(2x-2)2-4,即可求函數(shù)g(x)的值域;
(2)分類(lèi)討論,|f(x)|≤2,可化為-2≤x2-ax+1≤2,分離參數(shù),求最值,即可求a的取值范圍;
(3)分類(lèi)討論,利用配方法,結(jié)合h(x)的最小值為-$\frac{7}{2}$,求實(shí)數(shù)a的值.

解答 解:(1)當(dāng)a=0時(shí),g(x)=(2x-2)2-4,…(2分)
因?yàn)?x>0,
所以g(x)≥g(2)=-4,g(x)的值域?yàn)閇-4,+∞).…(4分)
(2)若x=0,a∈R.
若x∈(0,2]時(shí),|f(x)|≤2可化為-2≤x2-ax+1≤2    …(6分)
所以x-$\frac{1}{x}$≤a≤x+$\frac{3}{x}$.…(7分)
因?yàn)閥=x-$\frac{1}{x}$在(0,2]為遞增函數(shù),所以函數(shù)y=x-$\frac{1}{x}$的最大值為$\frac{3}{2}$,…(8分)
因?yàn)閤+$\frac{3}{x}$≥2$\sqrt{3}$(當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{3}{x}$,即x=$\sqrt{3}$取“=”)  …(9分)
所以a的取值范圍是[$\frac{3}{2}$,2$\sqrt{3}$].  …(10分)
(3)因?yàn)閔(x)=$\left\{\begin{array}{l}{f(x),x>a}\\{g(x),x≤a}\end{array}\right.$,
當(dāng)x≤a時(shí),h(x)=4x-4•2x-a,…(11分)
令t=2x,t∈(0,2a],則p(t)=(t-$\frac{2}{{2}^{a}}$)2-$\frac{4}{{4}^{a}}$,
當(dāng)x≤a時(shí),即${2}^{a}≤\frac{2}{{2}^{a}}$,P(t)∈[4a-4,0); …(12分)
當(dāng)x>a時(shí),k(x)=x2-ax+1,即k(x)=$(x-\frac{a}{2})^{2}+1-\frac{{a}^{2}}{4}$,
因?yàn)閍<0,所以$\frac{a}{2}$>a,h(x)∈[1-$\frac{{a}^{2}}{4}$,+∞). …(14分)
若4a-4=-$\frac{7}{2}$,a=-$\frac{1}{2}$,此時(shí)1-$\frac{{a}^{2}}{4}$=$\frac{15}{16}$>$-\frac{7}{2}$,
若1-$\frac{{a}^{2}}{4}$=$-\frac{7}{2}$,即a=$-3\sqrt{2}$,此時(shí)4a-4=${4}^{-3\sqrt{2}}$-4<-$\frac{7}{2}$,
所以實(shí)數(shù)a=$-\frac{1}{2}$. …(16分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的值域,考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想,考查函數(shù)的單調(diào)性,屬于中檔題.

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(1)求這960名男大學(xué)生中,體重小于60kg的男大學(xué)生的人數(shù);
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(Ⅰ)請(qǐng)完成下面的2×2列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯(cuò)概率不超過(guò)0.001的前提下,認(rèn)為該校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)有關(guān)系?
(Ⅱ)若將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率,從全體高二年級(jí)學(xué)生成績(jī)中,有放回地依次隨機(jī)抽取4名學(xué)生的成績(jī),記抽取的4名學(xué)生中數(shù)學(xué)、物理兩科成績(jī)恰有一科“優(yōu)秀”的人數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望E(X),
附:K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$
P(K2≥k00.0100.0050.001
 k06.6357.87910.828
2×2列聯(lián)表:
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