20.某課題主題研究“中學(xué)生數(shù)學(xué)成績與物理成績的關(guān)系”,現(xiàn)對(duì)高二年級(jí)800名學(xué)生上學(xué)期期末考試的數(shù)學(xué)和物理成績按“優(yōu)秀”和“不優(yōu)秀”分類:數(shù)學(xué)和物理成績都優(yōu)秀的有60人,數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀但物理成績不優(yōu)秀的有140人,物理成績優(yōu)秀但數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀的有100人.
(Ⅰ)請(qǐng)完成下面的2×2列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯(cuò)概率不超過0.001的前提下,認(rèn)為該校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與物理成績有關(guān)系?
(Ⅱ)若將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率,從全體高二年級(jí)學(xué)生成績中,有放回地依次隨機(jī)抽取4名學(xué)生的成績,記抽取的4名學(xué)生中數(shù)學(xué)、物理兩科成績恰有一科“優(yōu)秀”的人數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望E(X),
附:K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$
P(K2≥k00.0100.0050.001
 k06.6357.87910.828
2×2列聯(lián)表:
  數(shù)學(xué)優(yōu)秀數(shù)學(xué)不優(yōu)秀  總計(jì)
 物理優(yōu)秀   
 物理不優(yōu)秀   
 總計(jì)   

分析 (1)由題意得列聯(lián)表,可計(jì)算K2≈16.667>10.828,可得結(jié)論;
(2)可得數(shù)學(xué)、物理兩科成績恰有一科“優(yōu)秀”的概率為0.3,由題意可知X~B(4,0.3),可得期望.

解答 解:(1)由題意可得列聯(lián)表:

物理優(yōu)秀物理不優(yōu)秀總計(jì)
數(shù)學(xué)優(yōu)秀60140160
數(shù)學(xué)不優(yōu)秀100500640
總計(jì)200600800
因?yàn)镵2=$\frac{800(60×500-140×100)^{2}}{160×640×200×600}$≈16.667>10.828.           
所以能在犯錯(cuò)概率不超過0.001的前提下認(rèn)為該校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與物理成績有關(guān);
(2)每次抽取1名學(xué)生成績,其中數(shù)學(xué)、物理兩科成績恰有一科“優(yōu)秀”的頻率$\frac{240}{800}$=0.3.
將頻率視為概率,即每次抽取1名學(xué)生成績,其中數(shù)學(xué)、物理兩科成績恰有一科“優(yōu)秀”的概率為0.3.
由題意可知X~B(4,0.3),
從而E(X)=np=1.2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量及其分布列,涉及獨(dú)立性檢驗(yàn),屬中檔題.

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(2)若對(duì)任意x∈[0,2],均有|f(x)|≤2,求a的取值范圍;
(3)當(dāng)a<0時(shí),設(shè)h(x)=$\left\{\begin{array}{l}{f(x),x>a}\\{g(x),x≤a}\end{array}\right.$,若h(x)的最小值為-$\frac{7}{2}$,求實(shí)數(shù)a的值.

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