Question

7．如圖，P是兩條平行直線l₁，l₂之間的一個(gè)定點(diǎn)，且點(diǎn)P到l₁，l₂的距離分別為PA=1，PB=$\sqrt{3}$，設(shè)△PMN的另兩個(gè)頂點(diǎn)M，N分別在l₁，l₂上運(yùn)動(dòng)，設(shè)∠MPN=α，∠PMN=β，∠PNM=γ，且滿足sinβ+sinγ=sinα（cosβ+cosγ）．
（Ⅰ）求α；
（Ⅱ）求$\frac{1}{PM}$+$\frac{\sqrt{3}}{PN}$的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)PN=a，PM=b，MN=c，由正弦定理及余弦定理得a+b=c×（$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}+\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$），從而a²+b²=c²，由此能求出α．
（Ⅱ）設(shè)∠MPA=θ，（0$＜θ＜\frac{π}{2}$），則∠NPB=$\frac{π}{2}-θ$，PM=$\frac{1}{cosθ}$，PN=$\frac{\sqrt{3}}{cos（\frac{π}{2}-θ）}$=$\frac{\sqrt{3}}{sinθ}$，由此能求出$\frac{1}{PM}$+$\frac{\sqrt{3}}{PN}$的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵設(shè)∠MPN=α，∠PMN=β，∠PNM=γ，
且滿足sinβ+sinγ=sinα（cosβ+cosγ）．
設(shè)PN=a，PM=b，MN=c，
∴由正弦定理及余弦定理得a+b=c×（$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}+\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$），
整理，得a²+b²=c²，∴PN⊥PM，
∴α=$∠MPN=\frac{π}{2}$．
（Ⅱ）設(shè)∠MPA=θ，（0$＜θ＜\frac{π}{2}$），則∠NPB=$\frac{π}{2}-θ$，
PM=$\frac{1}{cosθ}$，PN=$\frac{\sqrt{3}}{cos（\frac{π}{2}-θ）}$=$\frac{\sqrt{3}}{sinθ}$，
∴$\frac{1}{PM}$+$\frac{\sqrt{3}}{PN}$=cosθ+sinθ=$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）≤\sqrt{2}$，
當(dāng)$θ+\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即$θ=\frac{π}{4}$時(shí)，取等號(hào)，
∴$\frac{1}{PM}$+$\frac{\sqrt{3}}{PN}$的最大值為$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查角的求法，考查代數(shù)式的最大值的求法，考查正弦定理、余弦定理、三角函數(shù)恒等變換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．