已知雙曲線的離心率e=
2
3
3
,F(xiàn)(-2,0)是其左焦點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn),則
OP
FP
的取值范圍為
 
考點(diǎn):雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)
專題:計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:先求出雙曲線的方程,設(shè)出點(diǎn)P,代入雙曲線方程求得縱坐標(biāo)的表達(dá)式,根據(jù)P,F(xiàn),O的坐標(biāo)表示
OP
FP
,進(jìn)而利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得其最小值,則可得
OP
FP
的取值范圍.
解答: 解:設(shè)P(m,n),則
OP
FP
=(m,n)•(m+2,n)=m2+2m+n2
∵雙曲線的離心率e=
2
3
3
,F(xiàn)(-2,0)是其左焦點(diǎn),
∴c=2,a=
3
,
∴b=1
∴雙曲線方程為
x2
3
-y2
=1,
∵點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn),
m2
3
-n2=1(m≥
3
)

∴n2=
m2
3
-1,
OP
FP
=(m,n)•(m+2,n)=m2+2m+n2,
∴m2+2m+n2=m2+2m+
m2
3
-1=
4
3
m2+2m-1

∵m≥
3

∴函數(shù)在[
3
,+∞)上單調(diào)遞增,
∴m2+2m+n2≥3+2
3
,
故答案為:3+2
3
點(diǎn)評(píng):本題考查待定系數(shù)法求雙曲線方程,考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、二次函數(shù)的單調(diào)性與最值等,考查了同學(xué)們對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的熟練程度以及知識(shí)的綜合應(yīng)用能力、運(yùn)算能力.
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相關(guān)習(xí)題

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同時(shí)投兩個(gè)相同的骰子,分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6,結(jié)果正面朝上的兩個(gè)數(shù)相乘的積不小于20的情形有
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=|logax|-(
1
2
x(a>0且a≠1)有兩個(gè)零點(diǎn)x1、x2,則有( 。
A、0<x1x2<1
B、x1x2=1
C、x1x2>1
D、x1x2的范圍不確定

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)f(x)=4sin(
2x
3
+
π
6
)-3.
(1)當(dāng)x∈[0,π],求f(x)的值域;
(2)求f(x)的增區(qū)間;
(3)說明函數(shù)f(x)=4sin(
2x
3
+
π
6
)-2是由函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=|x-2|+|x+3|,則不等式f(x)>|x-2|+5的解集為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在等差數(shù)列{an}中,a10=23,a25=-22,Sn為其前n項(xiàng)和
(1)該數(shù)列從第幾項(xiàng)開始為負(fù)數(shù);
(2)求Sn
(3)求使Sn<0的最小的正整數(shù)n,
(4)求Tn=|a1|+|a2|+…+|an|的表達(dá)式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)f(x)=log
1
2
(4x-x2)的定義域?yàn)?div id="7lf9lxl" class='quizPutTag' contenteditable='true'> 
,值域?yàn)?div id="7bdjlvh" class='quizPutTag' contenteditable='true'> 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
4
(x+1)2,若存在t∈R,只要x∈[1,m](m>1),就有f(x+t)≤x,則m的最大值是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知實(shí)數(shù)x,y滿足xy+2x+3y-3=0.
(1)若x,y∈R,則x+y的取值范圍是
 
;
(2)若x,y∈R+,則x+y的取值范圍是
 

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