Question

已知實數(shù)x，y滿足xy+2x+3y-3=0．
（1）若x，y∈R，則x+y的取值范圍是

 

；
（2）若x，y∈R₊，則x+y的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：一元二次不等式的應(yīng)用

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）令u=x+y，則y=u-x，代入xy+2x+3y-3=0．化為x²+（1-u）x+3-3u=0，由于x∈R，可得△≥0，解出即可．
（2）由實數(shù)x，y滿足xy+2x+3y-3=0．可得y=

3-2x

x+3

＞0，解得0＜x＜

3

2

．因此x+y=x+

3-2x

x+3

=x-

3

x+3

+2=f（x），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值即可得出．

解答： 解：（1）令u=x+y，則y=u-x，
∵實數(shù)x，y滿足xy+2x+3y-3=0．
∴x（u-x）+2x+3（u-x）-3=0，
化為x²+（1-u）x+3-3u=0，
∵x∈R，
∴△≥0，
化為u²+10u-11≥0，
解得u≤-11，或u≥1．
∴x+y的取值范圍是（-∞，-11]∪[1，+∞）．
（2）∵實數(shù)x，y滿足xy+2x+3y-3=0．
∴y=

3-2x

x+3

＞0，解得0＜x＜

3

2

．
∴x+y=x+

3-2x

x+3

=x-

3

x+3

+2=f（x），
f′（x）=1+

3

(x+3)2

＞0，
∴函數(shù)f（x）在(0，

3

2

)上單調(diào)遞增．
∴f(0)＜f(x)＜f(

3

2

)，
即1＜f（x）＜

17

6

．
∴x+y的取值范圍是(1，

17

6

)．
故答案分別為：（-∞，-11]∪[1，+∞），(1，

17

6

)．．

點評：本題考查了一元二次方程有實數(shù)根與判別式的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．