Question

16．如圖，在四棱錐A-BCD中，△ABD、△BCD均為正三角形，且平面ABD⊥平面BCD，點(diǎn)O，M分別為棱BD，AC的中點(diǎn)，則異面直線AB與OM所成角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}+\sqrt{6}}}{4}$

Answer 1

分析 如圖所示，連接OA，OC，取BC的中點(diǎn)E，連接ME，OE，則∠EMO（或其補(bǔ)角）為異面直線AB與OM所成角．利用余弦定理可得結(jié)論．

解答 解：如圖所示，連接OA，OC，取BC的中點(diǎn)E，連接ME，OE，則
∠EMO（或其補(bǔ)角）為異面直線AB與OM所成角，
∵O為棱BD的中點(diǎn)，
∴OA⊥BD，
∵平面ABD⊥平面BCD，
∴OA⊥平面BCD．
設(shè)AB=2，則EM=EO=1，AO=CO=$\sqrt{3}$，∴OM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴異面直線AB與OM所成角的余弦值為$\frac{1+\frac{6}{4}-1}{2×1×\frac{\sqrt{6}}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查空間角，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定異面直線AB與OM所成角是關(guān)鍵．