14．已知△ABC的頂點都在半徑為R的球O的球面上，球心O到平面ABC的距離為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}R$，$AB=BC=AC=\sqrt{3}$，則球O的體積是（　�。�
A．$\frac{16}{3}π$B．16πC．$\frac{32}{3}π$D．32π

分析 首先求出底面△ABC所在圓的半徑r，結(jié)合條件和球的截面的性質(zhì)和R2=r2+d2，求得R，再由球的體積公式計算即可得到所求值．

解答 解：由題意可得底面△ABC所在圓的半徑為r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\sqrt{3}$=1，
球心O到平面ABC的距離為d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，
且R2=r2+d2=1+$\frac{3}{4}$R2，
可得R=2，
則球O的體積是$\frac{4}{3}$πR3=$\frac{32}{3}$π．
故選：C．

點評 本題考查球的體積的求法，注意運用球的截面的性質(zhì)，勾股定理的運用，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．

練習(xí)冊系列答案
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17．已知函數(shù)$f（x）=2sinxcosx-\sqrt{3}cos2x+1$（x∈R）．
（1）化簡f（x）并求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在區(qū)間$x∈[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值．

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5．一個幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是半徑為r的圓，若該幾何體的體積為9π，則它的表面積是（　�。�
A．27πB．36πC．45πD．54π

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2．一個幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為正方形，則最長側(cè)棱（不包括底面的棱）的長度為（　　）
A．2B．$\sqrt{6}$C．$2\sqrt{2}$D．$2\sqrt{3}$

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9．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左焦點F1（-$\sqrt{5}$，0），若橢圓上存在一點D，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段DF1相切于線段DF1的中點F
（1）求橢圓E的方程；
（2）過坐標(biāo)原點O的直線交橢圓W：$\frac{{9{x^2}}}{{2{a^2}}}+\frac{{4{y^2}}}{b^2}$=1于P、A兩點，其中點P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連結(jié)AC并延長交橢圓W于B，求證：PA⊥PB．

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19．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（　�。�
A．6πB．$\frac{46}{3}$πC．18πD．$\frac{52}{3}$π

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6．如圖，已知過拋物線E：x2=4y的焦點F的直線交拋物線E與A、C兩點，經(jīng)過點A的直線l1分別交y軸、拋物線E于點D、B（B與C不重合），∠FAD=∠FDA，經(jīng)過點C作拋物線E的切線為l2．
（Ⅰ）求證：l1∥l2；
（Ⅱ）求三角形ABC面積的最小值．

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3．已知$α，β∈（0，\frac{π}{2}）$，則下列不等式一定成立的是（　�。�
A．sin（α+β）＜sinα+sinβB．sin（α+β）＞sinα+sinβ
C．cos（α+β）＜sinα+sinβD．cos（α+β）＞cosα+cosβ

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4．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線${C_1}：\left\{{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)，t≠0），其中0≤a＜π，在以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ=4sinθ，曲線${C_3}=ρ=4\sqrt{3}cosθ$．
（Ⅰ）求C2與C3交點的直角坐標(biāo)系；
（Ⅱ）若C2與C1相交于點A，C3與C1相交于點B，求|AB|的最大值．

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