Question

5．設(shè)函數(shù)$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+{x^2}+（{{m^2}-1}）x$．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=-x²+2x+（m²-1），△=4m²，對(duì)m與0的大小關(guān)系分類討論，即可得出單調(diào)性．
（2）利用（1）的結(jié)論及其已知函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)，即可得出m的取值范圍．

解答 解：（1）f′（x）=-x²+2x+（m²-1），
△=4+4（m²-1）=4m²≥0，
∴①m=0時(shí)，f′（x）=-x²+2x-1=-（x-1）²≤0，
∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減．
②m≠0時(shí)，由f′（x）=-x²+2x+（m²-1）=-[x-（1-m）][x-（1+m）]，
∴m＞0時(shí)，1+m＞1-m，∴1-m＜x＜1+m時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
x＜1-m，或1+m＜x時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
m＜0時(shí)，1+m＜1-m，∴1+m＜x＜1-m時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
x＜1+m，或1-m＜x時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
（2）由（1）可得：①m＞0時(shí)，1+m＞1-m，x＜1-m，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，又函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{1-m≥0}\end{array}\right.$，解得0＜m≤1．
②m＜0時(shí)，1+m＜1-m，x＜1+m，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，又函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{1+m≥0}\end{array}\right.$，解得-1≤m＜0．
綜上可得：m的取值范圍是[-1，0）∪（0，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、不等式的解法，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．