Question

20．已知平面向量$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$滿(mǎn)足：|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=1，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0．若$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，（x，y∈R），則x+y的最大值是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． 1
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 由|$\overrightarrow{OC}$|²=（x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$）²=1，整理可得：x²+y²=1，設(shè)x=cosθ，y=sinθ，由輔助角公式可知$x+y=cosθ+sinθ=\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，根據(jù)正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)，即可求得x+y的最大值．

解答 解：由|$\overrightarrow{OC}$|=1，可知|$\overrightarrow{OC}$|²=（x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$）²=1，
∴x²|$\overrightarrow{OA}$|²+y²|$\overrightarrow{OB}$|²+2xy$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=1，
∴x²+y²=1，
設(shè)x=cosθ，y=sinθ，則：$x+y=cosθ+sinθ=\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，
∴由正弦函數(shù)及性質(zhì)可知：x+y的最大值是$\sqrt{2}$，
故答案選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，輔助角公式及正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)，考查換元法，屬于中檔題．