Question

設(shè)常數(shù)a∈R，函數(shù)f（x）=

2x+a

2x-a

．
（1）當a=1時，判斷并證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）的單調(diào)性；
（2）當a≥0時，討論函數(shù)y=f（x）的奇偶性，并說明理由；
（3）當a≠0時，若存在區(qū)間[m，n]（m＜n），使得函數(shù)f（x）在[m，n]的值域為[2^m，2ⁿ]，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)的值域,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當a=1時，利用函數(shù)單調(diào)性的定義，即可判斷并證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）的單調(diào)性；
（2）當a≥0時，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義，討論函數(shù)y=f（x）的奇偶性；
（3）當a≠0時，分類討論，根據(jù)存在區(qū)間[m，n]（m＜n），使得函數(shù)f（x）在[m，n]的值域為[2^m，2ⁿ]，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）當a=1時，f(x)=

2x+1

2x-1

=1+

2

2x-1

，
設(shè)x₁＞x₂，x₁，x₂∈（0，+∞），則f（x₁）-f（x₂）=

2

2x1-1

-

2

2x2-1

=

2(2x2-2x1)

(2x1-1)(2x2-1)

       …（3分）
因為x₁＞x₂，x₁，x₂∈（0，+∞），所以

2(2x2-2x1)

(2x1-1)(2x2-1)

＜0，
故f（x₁）-f（x₂）＜0，
故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．              …（5分）
（2）因為f（x）=

2x+a

2x-a

，且a≥0，
①當a=0時，f（x）=1，故對于任意的實數(shù)x都有f（-x）=f（x），此時函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；…（6分）
②當a=1時，f（x）=

2x+1

2x-1

（x≠0），
因為f（-x）=

2-x+1

2-x-1

=

1+2x

1-2x

=-f（x），所以，此時函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；      …（8分）
③當a≠0且a≠1時，由2^x-a≠0得x≠log₂a，函數(shù)的定義域為{x|x≠log₂a}，
所以，此時函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，故函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)．
綜上，當a=0時，函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
當a=1時，函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
當a≠0且a≠1時，函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)．                 …（10分）
（3）因為f(x)=

2x+a

2x-a

=1+

2a

2x-a

，
①當a＞0時，函數(shù)f（x）在（log₂a，+∞）和（-∞，log₂a）上單調(diào)遞減，
由題意可得

1+ 2a 2m-a =2n 1+ 2a 2n-a =2m

，（*）
上述兩式相減得

2a

2m-a

-

2a

2n-a

=

2a(2n-2m)

(2m-a)(2n-a)

=2n-2m，
即2a=（2^m-a）（2ⁿ-a），故

2a

2m-a

=2ⁿ-a，
代入（*）式得a=1，此時（2^m-1）（2ⁿ-1）=2，且m＜n＜0或0＜m＜n
此時（2^m-1）（2ⁿ-1）=2顯然有解，故此時a=1．                        …（13分）
②當a＜0時，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．
由題意可得m，n是方程1+

2a

2x-a

=2^x的兩個不等的實根，
令t=2^x＞0，則方程t²-（a+1）t-a=0有兩個不相等的正實根，
故

△=(a+1)2+4a＞0 a+1＞0 -a＞0

，解得-3+2

2

＜a＜0，
綜上得實數(shù)a的取值范圍是{1}∪(-3+2

2

，0)．                          …（16分）

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的奇偶性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．