Question

8．有一批貨物需要用汽車從生產(chǎn)商所在城市甲運至銷售商所在城市乙，已知從城市甲到城市乙只有兩條公路，且通過這兩條公路所用的時間互不影響．據(jù)調查統(tǒng)計，通過這兩條公路從城市甲到城市乙的200輛汽車所用時間的頻數(shù)分布如表：

所用的時間（天數(shù)）	10	11	12	13
通過公路l的頻數(shù)	20	40	20	20
通過公路2的頻數(shù)	10	40	40	10

假設汽車A只能在約定日期（某月某日）的前11天出發(fā)，汽車B只能在約定日期的前12天出發(fā)（將頻率視為概率）．
（I）為了盡最大可能在各自允許的時間內將貨物運往城市乙，估計汽車A和汽車B應如何選擇各自的路徑；
（Ⅱ）若通過公路l、公路2的“一次性費用”分別為3.2萬元、1.6萬元（其他費用忽略不計），此項費用由生產(chǎn)商承擔．如果生產(chǎn)商恰能在約定日期當天將貨物送到，則銷售商一次性支付給生產(chǎn)商40萬元，若在約定日期前送到；每提前一天銷售商將多支付給生產(chǎn)商2萬元；若在約定日期后送到，每遲到一天，生產(chǎn)商將支付給銷售商2萬元．如果汽車A，B按（I）中所選路徑運輸貨物，試比較哪輛汽車為生產(chǎn)商獲得的毛利潤更大．

Answer 1

分析 （I）先求出頻率分布表，設A₁，A₂分別表示汽車A在約定日期前11天出發(fā)選擇公路1，2將貨物運往城市乙，B₁，B₂分別表示汽車B在約定日期前12天出發(fā)選擇公路1，2將貨物運往城市乙，分別求出相應的概率，能得到汽車A選擇公路1．汽車B選擇公路2
（Ⅱ）設X表示汽車A選擇公路1時，銷售商付給生產(chǎn)商的費用，則X的所有可能取值有42，40，38，36，分別求出相應的概率，從而得到汽車A選擇公路1的毛利潤；設Y表示汽車B選擇公路2時，銷售商付給生產(chǎn)商的費用，則Y的所有可能取值有44，42，40，38，分別求出相應的概率，從而得到汽車B選擇公路2的毛利潤，由此能求出汽車B為生產(chǎn)商獲得的毛利更大．

解答 解：（I）頻率分布表如下：

所有的時間（天數(shù)）	10	11	12	13
通過公路1的頻率	0.2	0.4	0.2	0.2
通過公路2的頻率	0.1	0.4	0.4	0.1

設A₁，A₂分別表示汽車A在約定日期前11天出發(fā)選擇公路1，2將貨物運往城市乙，
B₁，B₂分別表示汽車B在約定日期前12天出發(fā)選擇公路1，2將貨物運往城市乙，
P（A₁）=0.2+0.4=0.6，
P（A₂）=0.1+0.4=0.5，
P（B₁）=0.2+0.4+0.2=0.6，
P（B₂）=0.1+0.4+0.4=0.9，
所以汽車A選擇公路1．汽車B選擇公路2
（Ⅱ）設X表示汽車A選擇公路1時，銷售商付給生產(chǎn)商的費用，則X的所有可能取值有42，40，38，36，
P（X=42）=0.2，P（X=40）=0.4，P（X=38）=0.2，P（X=36）=0.2，
則X的分布列如下：

X	42	40	38	36
P	0.2	0.4	0.2	0.2

EX=42×0.2+40×0.4+38×0.2+36×0.2=39.2，
∴汽車A選擇公路1的毛利潤是39.2-3.2=36（萬元）．
設Y表示汽車B選擇公路2時，銷售商付給生產(chǎn)商的費用，則Y的所有可能取值有44，42，40，38，
P（Y=44）=0.1，P（Y=42）=0.4，P（Y=40）=0.4，P（Y=38）=0.1，
則Y的分布列如下：

Y	44	42	40	38
P	0.1	0.4	0.4	0.1

EY=44×0.1+42×0.4+40×0.4+38×0.1=41，
∴汽車B選擇公路2的毛利潤是41-1.6=39.4（萬元），
∵36.0＜39.4，
汽車B為生產(chǎn)商獲得的毛利更大．

點評 本題考查概率的求法及應用，考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望的性質及應用，是中檔題，解題時要認真審題，注意離散型隨機變量的性質的合理運用．