Question

正項等比數(shù)列{a_n}中，a₃=9，a₅=81
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足：b_n=a_n+lna_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用正項等比數(shù)列通項公式列出方程組，求出首項和公比，由此能求出a_n=3^n-1．
（2）由b_n=a_n+lna_n=3^n-1+ln3^n-1=3^n-1+（n-1）ln3，利用分組求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（1）∵正項等比數(shù)列{a_n}中，a₃=9，a₅=81，
∴

a1q2=9 a1q4=81 q＞0

，解得a₁=1，q=3，
∴a_n=3^n-1．
（2）∵b_n=a_n+lna_n=3^n-1+ln3^n-1=3^n-1+（n-1）ln3，
∴S_n=1+3+3²+…+3^n-1+[1+2+3+…+（n-1）]ln3
=

1-3n

1-3

+

(n-1)[1+(n-1)]ln3

2

=

3n-1+n(n-1)ln3

2

．

點評：本題主要考查數(shù)列的通項公式的求法、前n項和公式的求法，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查抽象概括能力，推理論證能力，運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，解題時要注意分組求和法的合理運用．