Question

13．如圖．在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ADC=90°，且PA=2，AD=CD=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{2}$，點(diǎn)M在PD上．
（I）求證：AB⊥PC；
（Ⅱ）若二面角M-AC-D的大小為$\frac{π}{4}$，求BM與平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出AB⊥AC，AB⊥PA，由此能證明AB⊥PC．
（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，AE為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出BM與平面PAC所成角的正弦值．

解答 證明：（Ⅰ）到BC中點(diǎn)E，連結(jié)AE，
∵PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ADC=90°，且PA=2，AD=CD=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{2}$，
∴AB=AC=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=4，
∴AB²+AC²=BC²，∴AB⊥AC，
∵AB?平面ABCD，∴AB⊥PA，
∵AC∩PA=A，∴AB⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，∴AB⊥PC．
解：（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，AE為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），C（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$，0），D（0，2$\sqrt{2}$，0），P（0，0，2），
設(shè)M（a，b，c），$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PD}$，即（a，b，c-2）=λ（0，2$\sqrt{2}$，-2）=（0，2$\sqrt{2}λ$，-2λ），
∴a=0，b=2$\sqrt{2}λ$，c=2-2λ，即M（0，2$\sqrt{2}λ$，2-2λ），
$\overrightarrow{AC}$=（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{AM}$=（0，2$\sqrt{2}λ$，2-2λ），
設(shè)平面ACM的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=2\sqrt{2}λy+（2-2λ）z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，$\frac{\sqrt{2}λ}{1-λ}$），
平面ACD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
∵二面角M-AC-D的大小為$\frac{π}{4}$，
∴cos$\frac{π}{4}$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}λ}{1-λ}}{\sqrt{2+（\frac{\sqrt{2}λ}{1-λ}）^{2}}}$，解得$λ=\frac{1}{2}$，
∴M（0，$\sqrt{2}$，1），B（2$\sqrt{2}$，-2$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{BM}$=（-2$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$，1），
$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2），$\overrightarrow{AC}$（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$，0），
設(shè)平面PAC的法向量$\overrightarrow{p}$=（x₁，y₁，z₁），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{AP}=2{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{AC}=2\sqrt{2}{x}_{1}+2\sqrt{2}{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，取x₁=1，得$\overrightarrow{p}$=（1，-1，0），
設(shè)BM與平面PAC所成角為β，
則sinβ=$\frac{|\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{BM}|•|\overrightarrow{p}|}$=$\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{27}•\sqrt{2}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{9}$．
∴BM與平面PAC所成角的正弦值為$\frac{5\sqrt{3}}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．