Question

當實數(shù)a，b變化時，直線（2a+b）x+（a+b）y+（a-b）=0與直線m²x+2y-n²=0過同一個定點，記點（m，n）的軌跡為曲線C，P為曲線C上任意一點，若點Q（1，0），則PQ的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：求出直線（2a+b）x+（a+b）y+（a-b）=0過定點（-2，3），直線m²x+2y-n²=0也過定點（-2，3），將點坐標代入m²x+2y-n²=0，可得-2m²+6-n²=0，即點（m，n）在橢圓上，即可求出PQ的最大值．

解答： 解：∵（2a+b）x+（a+b）y+a-b=（2x+y+1）a+（x+y-1）b=0，
若對于任意的a，b都成立，
∴

2x+y+1=0 x+y-1=0

，解得x=-2，y=3，
即直線（2a+b）x+（a+b）y+（a-b）=0過定點（-2，3）．
因此直線m²x+2y-n²=0也過定點（-2，3），
將點坐標（-2，3）代入m²x+2y-n²=0，可得-2m²+6-n²=0，
即2m²+n²=6，n²=6-2m²，
即點（m，n）在橢圓

m2

3

+

n2

6

=1上．
則-

3

≤m≤

3

，
∵P為曲線C上任意一點，點Q（2，0），
∴|PQ|=

(m-2)2+n2

=

m2-4m+4+6-2m2

=

-m2-4m+10

=

-(m+2)2+14

，
y∵-

3

≤m≤

3

，
∴當m=-

3

時，|PQ|取得最大值，最大值為

7+4 3

=

( 3 +2)2

=2+

3

．
當m=

3

時，|PQ|取得最小值，最小值為

7-4 3

=

(2- 3 )2

=2-

3

故答案為：[2-

3

，2+

3

]．

點評：本題主要考查直線和圓的應用，利用直線過定點求出定點坐標，利用消元法求|PQ|的長度是解決本題的關(guān)鍵．