Question

1．已知一個無窮等比數(shù)列{a_n}的每一項都等于它以后各項和的k倍，則實數(shù)k的取值范圍是（-∞，-2]∪（0，+∞）．

Answer 1

分析 無窮等比數(shù)列{a_n}的各項和為A，前n項和為S_n，公比為q，0＜|q|≤1，q≠1．可得A=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$，S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，由題意可得：a_n=k（A-S_n），代入化為：k=$\frac{q（1-q）}{{q}^{n}}$，分類討論即可得出．

解答 解：無窮等比數(shù)列{a_n}的各項和為A，前n項和為S_n，公比為q，0＜|q|≤1，q≠1．
則A=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$，S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，
由題意可得：a_n=k（A-S_n），
∴a₁q=k（$\frac{{a}_{1}}{1-q}$-$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$），
化為：k=$\frac{q（1-q）}{{q}^{n}}$，
1＞q＞0時，k＞0，n→+∞時，k→+∞．
-1≤q＜0時，可得：n為偶數(shù)時，k∈（-∞，-2]；n為奇數(shù)時，k＞0．
∴k∈（-∞，-2]∪（0，+∞）．
綜上可得：k∈（-∞，-2]∪（0，+∞）．
故答案為：（-∞，-2]∪（0，+∞）．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其性質、極限性質，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．