Question

10．已知AB為圓O：（x-1）²+y²=1的直徑，點P為直線x-y+1=0上任意一點，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值為1．

Answer 1

分析 由AB為圓O：（x-1）²+y²=1的直徑，可設(shè)A（1+cosθ，sinθ），B（1-cosθ，-sinθ）．點P為直線x-y+1=0上任意一點，可設(shè)P（x，x+1）．利用數(shù)量積運算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：由AB為圓O：（x-1）²+y²=1的直徑，
可設(shè)A（1+cosθ，sinθ），B（1-cosθ，-sinθ）．
∵點P為直線x-y+1=0上任意一點，可設(shè)P（x，x+1），
則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（1+cosθ-x，sinθ-x-1）•（1-cosθ-x，-sinθ-x-1）=（1-x）²-cos²θ+（1+x）²-sin²θ=2x²+1≥1．
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值為1，此時P（0，1）．
故答案為：1．

點評 本題考查了圓的標準方程、數(shù)量積運算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．