Question

8．求下列函數(shù)的值域：
（1）y=x²+2x，x∈[0，3]；
（2）y=$\frac{{x}^{2}-x}{{x}^{2}-x+1}$；
（3）y=log₃x+log_x3-1．

Answer 1

分析 （1）配方即可求出該二次函數(shù)在閉區(qū)間[0，3]上的最大、最小值，從而得出該函數(shù)的值域；
（2）可討論x²-x=0，和x²-x≠0兩種情況，而x²-x≠0時(shí)，原函數(shù)變成$y=\frac{1}{1+\frac{1}{{x}^{2}-x}}$，而配方可求出x²-x的范圍，進(jìn)而求出$\frac{1}{{x}^{2}-x}$的范圍，最后便可得出y的范圍，即該函數(shù)的值域；
（3）換底公式可將原函數(shù)變成$y=lo{g}_{3}x+\frac{1}{lo{g}_{3}x}-1$，而由基本不等式即可求出$lo{g}_{3}x+\frac{1}{lo{g}_{3}x}$的范圍，進(jìn)而即可求出y的范圍，即得出該函數(shù)的值域．

解答 解：（1）y=x²+2x=（x+1）²-1；
∵x∈[0，3]；
∴x=0時(shí)，y取最小值0，x=3時(shí)，取最大值15；
∴該函數(shù)的值域?yàn)閇0，15]；
（2）①若x²-x=0，則y=0；
②若x²-x≠0，$y=\frac{{x}^{2}-x}{{x}^{2}-x+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{{x}^{2}-x}}$=$\frac{1}{1+\frac{1}{（x-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}}}$；
∵$-\frac{1}{4}≤（x-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}＜0$，或$（x-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}＞0$；
∴$\frac{1}{（x-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}}≤-4$，或$\frac{1}{（x-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}}＞0$；
∴$-\frac{1}{3}≤\frac{1}{1+\frac{1}{（x-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}}}＜0$，或$0＜\frac{1}{1+\frac{1}{（x-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}}}＜1$；
∴$-\frac{1}{3}≤y＜0$，或0＜y＜1；
∴綜上得，該函數(shù)的值域?yàn)?[-\frac{1}{3}，1）$；
（3）y=log₃x+log_x3-1=$lo{g}_{3}x+\frac{1}{lo{g}_{3}x}-1$；
①若log₃x＞0，則$lo{g}_{3}x+\frac{1}{lo{g}_{3}x}≥2$，當(dāng)log₃x=1，即x=3時(shí)取等號(hào)；
∴y≥1；
②若log₃x＜0，則$lo{g}_{3}x+\frac{1}{lo{g}_{3}x}=-[（-lo{g}_{3}x）+\frac{1}{-lo{g}_{3}x}]$≤-2，當(dāng)log₃x=-1，即x=$\frac{1}{3}$時(shí)取等號(hào)；
∴y≤-3；
∴綜上得，該函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，-3]∪[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 考查配方求二次函數(shù)值域的方法，根據(jù)不等式的性質(zhì)求函數(shù)值域的方法，以及基本不等式在求函數(shù)值域中的應(yīng)用，對(duì)數(shù)的換底公式，應(yīng)用基本不等式時(shí)注意所具備的條件，以及判斷等號(hào)是否取到．