Question

19．如圖，在△OAB中，已知P為線段AB上的一點．|$\overrightarrow{OA}$|=4，|$\overrightarrow{OB}$|=3，且$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角為60°．
（1）若$\overrightarrow{BP}$=3$\overrightarrow{PA}$，求$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{AB}$的值；
（2）若$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{PA}$，求當(dāng)OP⊥AB時λ的值．

Answer 1

分析 （1）求出$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$，用$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$表示出$\overrightarrow{OP}，\overrightarrow{AB}$，再進行計算；
（2）$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$表示出$\overrightarrow{OP}，\overrightarrow{AB}$，根據(jù)向量垂直列方程解出λ．

解答 解：（1）$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=4×3×cos60°=6．
∵$\overrightarrow{BP}$=3$\overrightarrow{PA}$，∴$\overrightarrow{BP}$=$\frac{3}{4}\overrightarrow{BA}$=$\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}-\frac{3}{4}\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BP}$=$\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{OB}$）•（$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$）=-$\frac{3}{4}{\overrightarrow{OA}}^{2}$+$\frac{1}{4}{\overrightarrow{OB}}^{2}$$+\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=-12+$\frac{9}{4}$+3=-$\frac{27}{4}$．
（2）∵$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{PA}$，∴$\overrightarrow{BP}$=$\frac{λ}{λ+1}\overrightarrow{BA}$=$\frac{λ}{λ+1}\overrightarrow{OA}-\frac{λ}{λ+1}\overrightarrow{OB}$．
∴$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BP}$=$\frac{λ}{λ+1}\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{λ+1}\overrightarrow{OB}$，
∵OP⊥AB，∴（$\frac{λ}{λ+1}\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{λ+1}\overrightarrow{OB}$）•（$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$）=0，
∴-$\frac{λ}{λ+1}$${\overrightarrow{OA}}^{2}$+$\frac{1}{λ+1}{\overrightarrow{OB}}^{2}$$+\frac{λ-1}{λ+1}$$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，
即-$\frac{16λ}{λ+1}$+$\frac{9}{λ+1}$+$\frac{6λ-6}{λ+1}$=0，
解得λ=$\frac{3}{10}$．

點評 本題考查了平面向量的線性運算的幾何意義，向量的數(shù)量積運算，屬于中檔題．