Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈，若對(duì)于任意的x₁，x₂∈D，當(dāng)x₁+x₂=2a時(shí)，恒有f（x₁）+f（x₂）=2b，則稱點(diǎn)（a，b）為函數(shù)y=f（x）圖象的對(duì)稱中心．研究函數(shù)f（x）=x³+sinx+2的某一個(gè)對(duì)稱中心，并利用對(duì)稱中心的上述定義，可得到f(-1)+f(-

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)+…+f(

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)+f(1)=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：函數(shù)f（x）=x³+sinx+1圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為（0，2），即x₁+x₂=0時(shí)，總有f（x₁）+f（x₂）=4，再利用倒序相加，即可得到結(jié)論

解答： 解：∵f（x）=x³+sinx+2，
∴f^'（x）=3x²+cosx，f^''（x）=6x-sinx，
∴f^''（0）=0，
而f（x）+f（-x）=x³+sinx+2+-x³-sinx+2=4，
函數(shù)f（x）=x³+sinx+1圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為（0，2），
即x₁+x₂=0時(shí)，總有f（x₁）+f（x₂）=4，
∴f(-1)+f(-

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)+…+f(

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20

)+f(1)
=20×4+f（0）
=82．
故答案為：82．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的對(duì)稱性，確定函數(shù)的對(duì)稱中心，利用倒序相加x₁+x₂=0時(shí)，總有f（x₁）+f（x₂）=4，是解題的關(guān)鍵．