Question

10．e為自然對數(shù)的底數(shù)，定義函數(shù)shx=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，chx=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$，若已知函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且滿足f（1）=ch1，當x＞0時，f（x）+xf′（x）＞shx．則f（x）＜$\frac{chx}{x}$的解集為（-1，0）∪（0，1）．

Answer 1

分析 通過分析所給不等式，構造新的函數(shù)．確定新函數(shù)的奇偶性，以及單調(diào)性，由對稱關系，從而得到解集．

解答 解：∵令g（x）=xf（x），
∴g′（x）=f（x）+xf′（x），
在x＞0時，g′（x）＞shx＞0，
∴g（x）在x＞0時單調(diào)遞增，
且∵g（-x）=g（x），
∴g（x）為偶函數(shù)．
∴g（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減．
∵要求f（x）＜$\frac{chx}{x}$的解集，
∴即要求①x＞0時，g（x）＜chx和②x＜0時，g（x）＞chx的解集
∵y=chx也為偶函數(shù)，所以只需看①即可，②可由對稱所得．
∵g′（x）＞（chx）′=shx＞0，
∴g（x）的增長速度快于chx，
∵g（1）=f（1）=ch1，
∴x∈（0，1），
∴由①，②得x∈（-1，0）∪（0，1），
故答案為：（-1，0）∪（0，1）．

點評 本題考查構造新函數(shù)的能力以及導函數(shù)與奇偶性相結合的問題．