Question

1．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3$\sqrt{3}$，點E，F(xiàn)在線段DB₁上，且DE=EF=FB₁，點M是正方體表面上的一動點，點P，Q是空間兩動點，若$\frac{|PE|}{|PF|}$=$\frac{|QE|}{|QF|}$=2且|PQ|=4，則$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$的最小值為-$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 首先由由題意可得DB₁=9，EF=3，在線段EF上取一點K，使得EK=2，F(xiàn)K=1，設(shè)KB₁的中點為N，如圖，由已知可得點P，Q在以KB1為直徑的球N的表面上，球心為N，球的直徑為4，由于|PQ|=4，故PQ是球N的直徑，由向量的知識可知$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=${\overrightarrow{MN}}^{2}$-4，故要求$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$的最小值，只需要求出|$\overrightarrow{MN}$|的最小值，結(jié)合圖形解答即可

解答 解：如圖，由題意可得DB₁=9，EF=3，
在線段EF上取一點K，使得EK=2，F(xiàn)K=1，
設(shè)KB₁的中點為N，
由于$\frac{|PE|}{|PF|}$=$\frac{|QE|}{|QF|}$=2，則點P，Q在以KB1為直徑的球N的表面上，球心為N，球的直徑為4，
由于|PQ|=4，故PQ是球N的直徑，
即$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{MP}$+$\overrightarrow{MQ}$）²-（$\overrightarrow{MP}$-$\overrightarrow{MQ}$）²]=${\overrightarrow{MN}}^{2}$-$\frac{1}{4}$${\overrightarrow{QP}}^{2}$=${\overrightarrow{MN}}^{2}$-4，
故要求$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$的最小值，只需要求出|$\overrightarrow{MN}$|的最小值，
設(shè)點N在平面BCC₁B₁內(nèi)的射影為M₀，則當M在M₀處時，|$\overrightarrow{MN}$|有最小值$\frac{2}{9}$|$\overrightarrow{AB}$|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
此時${\overrightarrow{MN}}^{2}$-4=$\frac{4}{3}$-4=-$\frac{8}{3}$，
故答案為：-$\frac{8}{3}$

點評 本題考查了空間幾何體，以及向量的有關(guān)知識，關(guān)鍵是判斷出要求$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$的最小值，只需要求出|$\overrightarrow{MN}$|的最小值，屬于難題．