Question

【題目】已知圓O的方程為x2+y2=5．
（1）P是直線(xiàn)y= x﹣5上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作圓O的兩條切線(xiàn)PC、PD，切點(diǎn)為C、D，求證：直線(xiàn)CD過(guò)定點(diǎn)；
（2）若EF、GH為圓O的兩條互相垂直的弦，垂足為M（1，1），求四邊形EGFH面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設(shè)P（x0，y0），則 ，

由題意，OCPD四點(diǎn)共圓，且直徑是OP，

其方程為 ，即x2+y2﹣x0x﹣y0y=0，

由 ，得：x0x+y0y=5．

∴直線(xiàn)CD的方程為：x0x+y0y=5．

又 ，∴ ，即（2x+y）x0﹣10（y+1）=0．

由 ，得： ．

∴直線(xiàn)CD過(guò)定點(diǎn)

（2）解：設(shè)圓心O到直線(xiàn)EF、GH的距離分別為d1、d2，則 ．

∴ ，

故 ．

當(dāng)且僅當(dāng) ，即d1=d2=1時(shí)等號(hào)成立．

∴四邊形EGFH面積的最大值為8

【解析】（1）設(shè)P的坐標(biāo)，寫(xiě)出以O(shè)P為直徑的圓的方程，與圓方程聯(lián)立即可求得直線(xiàn)CD的方程，結(jié)合P在直線(xiàn)y= x﹣5，利用線(xiàn)系方程證明直線(xiàn)CD過(guò)定點(diǎn)；（2）設(shè)圓心O到直線(xiàn)EF、GH的距離分別為d1、d2 ， 則 且 ，代入四邊形面積公式，利用基本不等式求得四邊形EGFH面積的最大值．