Question

10．已知（$\sqrt{2}$+1）^m=$\sqrt{2}$x_m+y_m，其中m，x_m，y_m∈N^*．
（1）求證：y_m為奇數(shù)；
（2）定義：[x]表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)．已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=[$\sqrt{2}$n]，求證：存在{a_n}的無窮子數(shù)列{b_n}，使得對(duì)任意的正整數(shù)n，均有b_n除以4的余數(shù)為1．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件得（$\sqrt{2}$+1）^m+1=$\sqrt{2}$（x_m+y_m）+（2x_m+y_m），判斷y_m+1與y_m同奇偶，進(jìn)行判斷即可．
（2）由二項(xiàng)式定理得（$\sqrt{2}$-1）^m=$\sqrt{2}$x_m-y_m，建立方程組進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解證明即可．

解答 證明：（1）∵（$\sqrt{2}$+1）^m=$\sqrt{2}$x_m+y_m，
∴（$\sqrt{2}$+1）^m+1=（$\sqrt{2}$x_m+y_m）（$\sqrt{2}$+1）=$\sqrt{2}$（x_m+y_m）+（2x_m+y_m）
得y_m+1=2x_m+y_m，即y_m+1與y_m同奇偶，
而當(dāng)m=1時(shí)，y₁為奇數(shù)；
∴y_m為奇數(shù)；
（2）由二項(xiàng)式定理得（$\sqrt{2}$-1）^m=$\sqrt{2}$x_m-y_m，
則2x_m²-y_m²=1，即2x_m²=y_m²+1＞y_m²，
∴y_m⁴＜2x_m²y_m²=y_m²（y_m²+1）＜（y_m²+1）²，
從而有y_m²＜$\sqrt{2}$x_my_m＜y_m²+1，
令n=x_my_m，則b_n=[$\sqrt{2}$n]=[$\sqrt{2}$x_my_m]=y_m²，
由（1）知y_m為奇數(shù)，
∴b_n除以4的余數(shù)為1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大．