Question

20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y=x²-6x+1與坐標(biāo)軸的交點都在圓C上．
（1）求圓C的方程；
（2）已知點A（3，0），點B為圓C上的一動點，求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的最大值，并求此時直線OB被圓C截得的弦長．

Answer 1

分析 （1）寫出曲線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，利用圓心的幾何特征設(shè)出圓心坐標(biāo)，構(gòu)造關(guān)于圓心坐標(biāo)的方程，通過解方程確定出圓心坐標(biāo)，求半徑，寫出圓的方程；
（2）利用參數(shù)法寫出點B的坐標(biāo)，通過$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的最大值求出點B的坐標(biāo)，利用幾何法直線OB被圓C截得的弦長即可．

解答 解：（1）曲線y=x²-6x+1與y軸的交點為M（0，1），
與x軸的交點為N（3+2$\sqrt{2}$，0），P（3-2$\sqrt{2}$，0）．
可知圓心在直線x=3上，故可設(shè)該圓的圓心C為（3，t），
則有3²+（t-1）²=（2$\sqrt{2}$）²+t²，解得t=1，
故圓C的半徑為$\sqrt{{3}^{2}{+（t-1）}^{2}}$，
所以圓C的方程為（x-3）²+（y-1）²=9；
（Ⅱ）由圓C的方程為（x-3）²+（y-1）²=9，
設(shè)B（3+3cosθ，1+3sinθ），θ∈[0，2π）；
又A（3，0），
所以$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=3（3+3cosθ）=9+9cosθ，
所以θ=0時，cosθ=1，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$取得最大值，
此時B（6，1），
所以直線OB的方程為y=$\frac{1}{6}$x，即x-6y=0；
則圓心C（3，1）到直線OB的距離為
d=$\frac{|1×3-6×1|}{\sqrt{{1}^{2}{+（-6）}^{2}}}$=$\frac{3}{\sqrt{37}}$，
所以弦長l=2$\sqrt{{r}^{2}{-d}^{2}}$=2×$\sqrt{9-\frac{9}{37}}$=$\frac{36\sqrt{37}}{37}$，
故直線OB被圓C截得的弦長為$\frac{36\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$．

點評 本題考查了求圓的方程的應(yīng)用問題，也考查了直線與圓的相交問題以及平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用問題，是綜合性題目．