Question

12．某市新批保障性住房建設(shè)正在積極籌劃中，有關(guān)部門已投人3200萬購買了-塊土地，并計劃在這土地上建造一棟n（15＜n＜30）層大樓，每層總面積2000m²．現(xiàn)已知第一層的建筑費(fèi)用為2200元/m²，并且每升高一層，建筑費(fèi)用增加80元/m²．
（1）建設(shè)這棟大樓的綜合費(fèi)用為y萬元．寫出函數(shù)y=f（n）的表達(dá)式；
（2）當(dāng)n為何值時，建設(shè)該大樓的每平方米的平均綜合費(fèi)用最低？
（注：綜合費(fèi)用=建設(shè)費(fèi)用與購地費(fèi)用之和）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件建立函數(shù)關(guān)系即可寫出函數(shù)y=f（n）的表達(dá)式
（2）利用基本不等式的性質(zhì)即可求出函數(shù)的最值．

解答 解：（1）由題意知，建造第1層樓房每平方米建筑費(fèi)用為2200元，
因此，建造第1層樓房建筑費(fèi)用為2200×2000=440（萬元），-----------------（1分）
樓房每升高一層，整層樓建筑費(fèi)用提高80×2000=16（萬元），------------------（2分）
∴建造第n層時的建筑費(fèi)用為440+（n-1）×16=16n+424（萬元），-------------（4分）
若建造n層，該樓房的綜合費(fèi)用為y=f（n）=440n+$\frac{n（n-1）}{2}×16$+3200=8n²+432n+3200，
∴y=f（n）=8n²+432n+3200（15＜n＜30，n∈N）．--------------------------------（6分）
（Ⅱ）該樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用為g（n），則
g（n）=$\frac{f（n）×10000}{2000n}$=$\frac{5（8{n}^{2}+432n+3200）}{n}$=5（8n+$\frac{3200}{n}$+432）-----------（9分）
≥5（$2\sqrt{8n•\frac{3200}{n}}$+432）=3760------------------------（11分）
當(dāng)且僅當(dāng)8n=$\frac{3200}{n}$，即n=20時等號成立．-------------------------（12分）
∴應(yīng)把樓層建成20層時平均綜合費(fèi)用最低．

點(diǎn)評 本題主要考查數(shù)列基本知識應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力和推理論證能力，利用基本不等式的性質(zhì)求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．