Question

17．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對邊的邊長分別為a，b，c，已知atanA-ccosB=bcosC．
（Ⅰ）求角A的大�。�
（Ⅱ）設(shè)AD是BC邊上的高，若$AD=\frac{1}{2}a$，求$\frac{c}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)正弦定理、兩角和的正弦公式化簡已知的式子，由A的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出A；
（Ⅱ）由三角形的面積公式和余弦定理列出方程，化簡后把$\frac{c}$作為一個整體求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵atanA-ccosB=bcosC，
∴由正弦定理得，sinAtanA-sinCccosB=sinBcosC，
sinAtanA=sinCccosB+sinBcosC=sin（B+C），
∵B+C=π-A，∴sin（B+C）=sinA，則sinAtanA=sinA，
又sinA≠0，則tanA=1，
由0＜A＜π得，A=$\frac{π}{4}$；
（Ⅱ）又sinA≠0，則tanA=1，
由0＜A＜π得，A=$\frac{π}{4}$；
（Ⅱ）∵AD是BC邊上的高，且$AD=\frac{1}{2}a$，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}×a×\frac{1}{2}a=\frac{1}{2}bcsinA$，則${a}^{2}=\sqrt{2}bc$，
由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA，
化簡得$^{2}+{c}^{2}-2\sqrt{2}bc=0$，
兩邊同除c²可得，$（\frac{c}）^{2}-2\sqrt{2}•\frac{c}+1=0$，
解得$\frac{c}=\sqrt{2}±1$．

點評 本題考查正弦定理、余弦定理，兩角和的正弦公式，考查化簡、變形能力，屬于中檔題．