Question

9．如圖，已知：|AC|=|BC|=4，∠ACB=90°，M為BC的中點(diǎn)，D為以AC為直徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，則$\overline{AM}•\overline{DC}$的最大值是（　　）

• A． $8+4\sqrt{5}$
• B． $8-4\sqrt{5}$
• C． $4+8\sqrt{5}$
• D． $8\sqrt{5}-4$

Answer 1

分析 建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出$\overrightarrow{AM}$與$\overrightarrow{DC}$，然后求解$\overline{AM}•\overline{DC}$的表達(dá)式，求出最大值即可．

解答 解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A（-2，0），C（2，0），O（0，0），M（2，-2），
設(shè)D（2cosα，2sinα）．
∴$\overrightarrow{AM}$=（4，-2），$\overrightarrow{DC}$=（2-2cosα，-2sinα）．$\overrightarrow{AM}•$$\overrightarrow{DC}$
•=4×（2-2cosα）+4sinα
=8-8cosα+4sinα
=8+4$\sqrt{5}$sin（α-θ），其中tanθ=2．
sin（α-θ）∈[-1，1]，
∴$\overline{AM}•\overline{DC}$的最大值是8+4$\sqrt{5}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題給出直角三角形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，求向量數(shù)量的最大值，著重考查了解三角形和平面向量的數(shù)量積公式等知識(shí)，屬于中檔題．