Question

11．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)積為T_n，即T_n=a₁a₂…a_n．
（1）若數(shù)列{a_n}為首項(xiàng)為2016，公比為$q=-\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
①求T_n的表達(dá)式；②當(dāng)n為何值時(shí)，T_n取得最大值；
（2）當(dāng)n∈N^*時(shí)，數(shù)列{a_n}都有a_n＞0且${T_n}•{T_{n+1}}={（{a_1}{a_n}）^{\frac{n}{2}}}{（{a_1}{a_{n+1}}）^{\frac{n+1}{2}}}$成立，求證：{a_n}為等比數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）①由題意知${a_n}=2016{（-\frac{1}{2}）^{n-1}}$，由此能求出T_n的表達(dá)式．
②記b_n=|a_n|，R_n=|T_n|，從而當(dāng)n≤10，n∈N^*時(shí)，R_n+1＞R_n；當(dāng)n≥11，n∈N^*時(shí)，R_n+1＜R_n，所以R_n的最大值為R₁₁，進(jìn)而（T_n）_max=max{T₉，T₁₂}．由此能求出結(jié)果．
（2）推導(dǎo)出${a_2}^2={a_1}{a_3}$，從而$a_n^2a_{n-1}^{n-1}=a_1^2a_{n+1}^{n-1}$，令${c_n}={（\frac{{{a_{n+1}}{a_{n-1}}}}{a_n^2}）^{n-1}}$，能證明{a_n}為等比數(shù)列．

解答 解：（1）①由題意知${a_n}=2016{（-\frac{1}{2}）^{n-1}}$，
所以${T_n}={2016^n}{（-\frac{1}{2}）^{0+1+…+（n-1）}}={2016^n}{（-\frac{1}{2}）^{\frac{n（n-1）}{2}}}$．…（3分）
②記b_n=|a_n|，R_n=|T_n|，即${b_n}=2016{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$，${R_n}={2016^n}{（\frac{1}{2}）^{\frac{n（n-1）}{2}}}$，$\frac{{{R_{n+1}}}}{R_n}=2016×{（\frac{1}{2}）^n}$，
當(dāng)n≤10，n∈N^*時(shí)，$\frac{{{R_{n+1}}}}{R_n}＞1$；當(dāng)n≥11，n∈N^*時(shí)，$\frac{{{R_{n+1}}}}{R_n}＜1$，
又因?yàn)?n∈N^*，R_n＞0，所以，當(dāng)n≤10，n∈N^*時(shí)，R_n+1＞R_n；
當(dāng)n≥11，n∈N^*時(shí)，R_n+1＜R_n，所以R_n的最大值為R₁₁．…（6分）
此時(shí)${T_{11}}={2016^{11}}{（-\frac{1}{2}）^{55}}＜0$，而T₉＞0，T₁₀＜0，T₁₂＞0，
所以（T_n）_max=max{T₉，T₁₂}．
而$\frac{{{T_{12}}}}{T_9}={a_{12}}{a_{11}}{a_{10}}={（{a_{11}}）^3}=（2016×{（-\frac{1}{2}）^{10}}）＞1$，
所以，當(dāng)n=12時(shí)，T_n取得最大值．…（9分）
（2）當(dāng)n=2時(shí)，${a_1}^2{a_2}^2{a_3}=（{a_1}{a_2}）{（{a_1}{a_3}）^{\frac{3}{2}}}$，
所以${a_2}=\sqrt{{a_1}{a_3}}$，即${a_2}^2={a_1}{a_3}$，…（10分）
已知${T_n}•{T_{n+1}}={（{a_1}{a_n}）^{\frac{n}{2}}}{（{a_1}{a_{n+1}}）^{\frac{n+1}{2}}}$①
當(dāng)n≥2時(shí)，${T_{n-1}}•{T_n}={（{a_1}{a_{n-1}}）^{\frac{n-1}{2}}}{（{a_1}{a_n}）^{\frac{n}{2}}}$②
①②兩式相除得${（{a_n}a{\;}_{n+1}）^2}=\frac{{{a_1}^2a_{n+1}^{n+1}}}{{a_{n-1}^{n-1}}}$，化簡(jiǎn)得$a_n^2a_{n-1}^{n-1}=a_1^2a_{n+1}^{n-1}$，③
又因?yàn)?a_{n+1}^2a_n^n=a_1^2a_{n+2}^n$，④
③④兩式相除得$a_{n+1}^{n+1}a_n^{n-2}=a_{n+2}^na_{n-1}^{n-1}$，⑤…（12分）
⑤式可化為：${（\frac{{{a_{n+2}}{a_n}}}{{a_{n+1}^2}}）^n}{（\frac{{{a_{n+1}}{a_{n-1}}}}{a_n^2}）^{n-1}}=1$，n≥2
令${c_n}={（\frac{{{a_{n+1}}{a_{n-1}}}}{a_n^2}）^{n-1}}$，所以c₁=1，c_n+1•c_n=1，所以${c_n}=1，?n∈{N^*}$，
即${a_{n+1}}{a_{n-1}}=a_n^2$，?n≥2，n∈N^*都成立，
所以{a_n}為等比數(shù)列．…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)取最大值時(shí)項(xiàng)數(shù)n的求法，考查等比數(shù)列的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)列性質(zhì)的合理運(yùn)用．