Question

16．設a≤3，函數f（x）=x|x-a|-a．
（1）若f（x）為奇函數，求a的值；
（2）若對任意的x∈[2，3]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據f（0）=0即可求出a；
（2）討論a的取值：a＜2，2≤a≤3，兩種情況，求出每種情況下的f（x）的最小值，讓最小值大于等于0從而求出a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）在原點有定義，f（x）為奇函數；
∴f（0）=-a=0；
∴a=0；
（2）f（x）=x|x-a|-a；
∴①若a＜2，則x=2時，f（x）在[2，3]上取得最小值f（2）=2（2-a）-a=4-3a；
∴4-3a≥0，a≤$\frac{4}{3}$；
∴a≤$\frac{4}{3}$；
②若2≤a≤3，則x=a時，f（x）取得最小值f（a）=-a；
-a＜0，不滿足f（x）≥0；
即這種情況不存在．
∴綜上得a的取值范圍為（-∞，$\frac{4}{3}$]．

點評 考查奇函數的定義，奇函數在原點有定義時f（0）=0，函數零點的定義，含絕對值函數求最值的方法，屬于中檔題．