Question

11．已知f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）-2cos²x+$\frac{3}{2}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，a=1，b+c=2，f（A）=$\frac{1}{2}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）函數(shù)f（x）展開(kāi)后，利用兩角和的咨詢公司化簡(jiǎn)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（Ⅱ）利用f（A）=$\frac{1}{2}$，求出A的大小，利用余弦定理求出bc的值，然后求出△ABC的面積．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）-2cos²x+$\frac{3}{2}$
=$\sqrt{3}sin2xcos\frac{π}{3}+\sqrt{3}cos2xsin\frac{π}{3}$-cos2x+$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}$
=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
由-$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-$\frac{π}{3}+kπ$，$\frac{π}{6}+kπ$]，k∈Z．
（Ⅱ）∵f（A）=sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，a=1，b+c=2，
又0＜A＜π，
∴$\frac{π}{6}$＜2A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{13π}{6}$
從而2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，∴A=$\frac{π}{3}$，
在△ABC中，∵a=1，b+c=2，A=$\frac{π}{3}$，
∴1=b²+c²-2bccosA，即1=4-3bc．
故bc=1
從而S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，單調(diào)增區(qū)間的求法，余弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，注意A的求法，容易出錯(cuò)．�？碱}型．