Question

16．已知函數(shù)f（x）=x³+x-16．
（1）求滿足斜率為4的曲線的切線方程；
（2）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，-6）處的切線的方程；
（3）直線l為曲線y=f（x）的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，解方程可得切點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到切線的方程；
（2）求出切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程；
（3）設(shè)出切點(diǎn)，可得切線的斜率，切線的方程，代入原點(diǎn)，解方程可得切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到所求切線的方程．

解答 解：（1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），
函數(shù)f（x）=x³+x-16的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²+1，
由已知得f′（x₀）=k_切=4，即$3{x_0}^2+1=4$，解得x₀=1或-1，
切點(diǎn)為（1，-14）時(shí)，切線方程為：y+14=4（x-1），即4x-y-18=0；
切點(diǎn)為（-1，-18）時(shí)，切線方程為：y+18=4（x+1），即4x-y-14=0；
（2）由已知得：切點(diǎn)為（2，-6），k_切=f'（2）=13，
則切線方程為y+6=13（x-2），
即13x-y-32=0；
（3）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），
由已知得f'（x₀）=k_切=$3{x_0}^2+1$，且${y_0}={x_0}^3+{x_0}-16$，
切線方程為：y-y₀=k（x-x₀），
即$y-（{x_0}^3+{x_0}-16）=（3{x_0}^2+1）（x-{x_0}）$，
將（0，0）代入得x₀=-2，y₀=-26，
求得切線方程為：y+26=13（x+2），即13x-y=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，注意確定切點(diǎn)，考查直線方程的運(yùn)用，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．