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AB為圓O的直徑,點E、F在圓上,AB//EF,矩形ABCD所在平面與圓O所在平面互相垂直,已知AB=2,BC=EF=1。

(I)求證:BF⊥平面DAF;
(II)求ABCD與平面CDEF所成銳二面角的某三角函數值;
(III)求多面體ABCDFE的體積。

(I)先證AD⊥平面ABEF,∴AD⊥BF;
由AB為圓O的直徑,得AF⊥BF,且AF∩AD=A,可得BF⊥平面DAF;

 

 
(II) ;

(III)

解析試題分析:(I)證明:因為平面ABCD⊥平面ABEF,AD⊥AB,
∴AD⊥平面ABEF,∴AD⊥BF;
又∵AB為圓O的直徑,∴AF⊥BF,
AF∩AD=A,
∴BF⊥平面DAF;    4分

 

 
(II)取AB,CD,EF的中點M,P,N(如圖所示)


易證∠MPN為所求二面角的平面角。
根據題意
  9分
(III)作為垂足,則

12分
考點:本題主要考查立體幾何中的垂直關系、角及體積計算。
點評:中檔題,立體幾何題,是高考必考內容,往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離、體積的計算。在計算問題中,有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法,要遵循“一作、二證、三計算”的步驟,利用空間向量,省去繁瑣的證明,也是解決立體幾何問題的一個基本思路。對計算能力要求較高。本題中體積計算利用了整體與局部的關系。

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知四棱錐的底面是直角梯形,,,側面為正三角形,,.如圖所示.

(1) 證明:平面;
(2) 求四棱錐的體積

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

如圖,是半圓的直徑,是半圓上除、外的一個動點,平面,,

⑴證明:平面平面;
⑵試探究當在什么位置時三棱錐的體積取得最大值,請說明理由并求出這個最大值.

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

如圖,四棱錐的底面是正方形,,點在棱上.

(Ⅰ)  求證:平面平面
(Ⅱ)  當,且時,確定點的位置,即求出的值.

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

如圖:在三棱錐D-ABC中,已知是正三角形,AB平面BCD,,E為BC的中點,F在棱AC上,且

(1)求三棱錐DABC的表面積;
(2)求證AC⊥平面DEF;
(3)若MBD的中點,問AC上是否存在一點N,使MN∥平面DEF?若存在,說明點N的位置;若不存在,試說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

如圖,四棱錐P­ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,∠DAB=60°,AB=2ADPD⊥底面ABCD。
(1)證明:PABD;(2)設PDAD,求二面角APBC的余弦值.  

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

如圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,D1D⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,且AB=1,D1D=

(1)求直線D1B與平面ABCD所成角的大。
(2)求證:AC⊥平面BB1D1D.

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,EAB的中點,現將△ ADE沿直線DE翻折成△ADE,使平面ADE⊥平面BCDE,F為線段AD的中點.

(1)求證:EF//平面ABC;
(2)求直線AB與平面ADE所成角的正切值.

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

如圖,正方體棱長為1,的中點,的中點.

(1)求證:;
(2)求二面角的余弦值.

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