如圖,四棱錐PABCD中,底面ABCD為平行四邊形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD。
(1)證明:PA⊥BD;(2)設(shè)PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值.
(1)只需證明BD2+AD2=AB2;(2)。
解析試題分析:(1)因為∠DAB=60°,AB=2AD,由余弦定理得.
從而BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD.
又PD⊥底面ABCD,可得BD⊥PD.
所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD. 6分
(2)如圖,以D為坐標(biāo)原點,AD的長為單位長,射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.則A(1,0,0),B(0,,0),C(-1,,0),P(0,0,1).
=(-1,,0),=(0,,-1),=(-1,0,0).
設(shè)平面PAB的法向量為n=(x,y,z),則
即
因此可取n=(,1,).
設(shè)平面PBC的法向量為m,則
可取m=(0,-1,-),.
故二面角APBC的余弦值為. 6分
考點:線面垂直的判定定理;線面垂直的性質(zhì)定理;二面角。
點評:二面角的求法是立體幾何中的一個難點。我們解決此類問題常用的方法有兩種:①綜合法,綜合法的一般步驟是:一作二說三求。②向量法,運用向量法求二面角應(yīng)注意的是計算。很多同學(xué)都會應(yīng)用向量法求二面角,但結(jié)果往往求不對,出現(xiàn)的問題就是計算錯誤。
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如圖所示,在四面體中,,,兩兩互相垂直,且.
(1)求證:平面平面;
(2)求二面角的大;
(3)若直線與平面所成的角為,求線段的長度.
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如圖甲,設(shè)正方形的邊長為,點分別在上,并且滿足
,如圖乙,將直角梯形沿折到的位置,使點在
平面上的射影恰好在上.
(1)證明:平面;
(2)求平面與平面所成二面角的余弦值.
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AB為圓O的直徑,點E、F在圓上,AB//EF,矩形ABCD所在平面與圓O所在平面互相垂直,已知AB=2,BC=EF=1。
(I)求證:BF⊥平面DAF;
(II)求ABCD與平面CDEF所成銳二面角的某三角函數(shù)值;
(III)求多面體ABCDFE的體積。
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如圖,已知為平行四邊形,,,,點在上,,,與相交于.現(xiàn)將四邊形沿折起,使點在平面上的射影恰在直線上.
(Ⅰ) 求證:平面;
(Ⅱ) 求折后直線與平面所成角的余弦值.
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如圖,為圓的直徑,點、在圓上,,矩形所在的平面與圓所在的平面互相垂直.已知,.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)求直線與平面所成角的大;
(Ⅲ)當(dāng)的長為何值時,平面與平面所成的銳二面角的大小為?
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如圖,是以為直徑的半圓上異于、的點,矩形所在的平面垂直于該半圓所在的平面,且.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)設(shè)平面與半圓弧的另一個交點為.
①試證:;
②若,求三棱錐的體積.
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如圖,在四棱錐中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、F分別是AP、AD的中點.
求證:(1)直線EF∥平面PCD;
(2)平面BEF⊥平面PAD
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